আমি সম্প্রতি আমার স্ত্রী এবং কন্যাদের সাথে একটি দুর্দান্ত দীর্ঘ স্কুবা ডাইভিং ট্রিপে গিয়েছিলাম। প্রচুর ডাইভিং প্রচুর ঝরনা বোঝায় এবং প্রচুর ঝরনা মানে প্রচুর ঝরনা-চিন্তাভাবনা! একটি বিশেষ আকর্ষণীয় একটি আমি কলাটজ অনুমানের কিছু দিক কল্পনা করার জন্য একটি দুর্দান্ত উপায়ে পরিণত হয়েছিল।
কোল্যাটজ অনুমানটি নিম্নলিখিত সমস্ত ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার উপর একটি খুব সাধারণ ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে:
- সংখ্যাটি যদি সমান হয় তবে এটি 2 দ্বারা ভাগ করুন
- যদি সংখ্যাটি বিজোড় হয় তবে এটি 3 দ্বারা গুণ করুন এবং তারপরে 1 যোগ করুন
আপনি যদি প্রমাণ করতে পারেন যে এই ফাংশনটির বারবার অ্যাপ্লিকেশনগুলি, কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থেকে শুরু করে শেষ পর্যন্ত 1 এ পৌঁছবে তবে আপনি কলাটজ অনুমানটি প্রমাণ করেছেন এবং এক মিলিয়ন ডলার এবং প্রচুর খ্যাতি এবং গৌরব অর্জন করেছেন!
স্বতন্ত্র ইনপুটগুলি যাচাই করতে তুচ্ছ। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা 6 দিয়ে শুরু করি তবে আমরা পাই:
- 6 সমান, তাই 6/2 → 3
- 3 বিজোড়, তাই 3 × 3 + 1 → 10
- 10 সমান, তাই 10/2 → 5
- 5 বিজোড়, তাই 5 × 3 + 1 → 16
- 16 সমান, তাই 16/2 → 8
- 8 সমান, তাই 8 /2 → 4
- 4 সমান, তাই 4/2 → 2
- 2 সমান, তাই 2/2 → 1
তবে আসল কাজটি প্রমাণ করছে যে এটি ঘটে সব ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যা। এখনও অবধি কেউ তা করতে সক্ষম হয়নি।
আমি কলাটজ অনুমানটি সমাধান করতে যাচ্ছি না। একরকম আমি এই বছর 50 টি পরিণত করছি, এবং আমার পিএইচডি দুই দশক আগে ছিল (এবং গণিতের একটি শাখায় যা অনুমানকে প্রভাবিত করার সম্ভাবনা কম)। তবে আমি ভালবাসি যে এটি ঠিক সেখানে রয়েছে, অপেক্ষা করছে এবং অনুপ্রাণিত করে। আমি আশা করি এটি আমার জীবদ্দশায় সমাধান হয়েছে।
যাইহোক, আমার ঝরনা-চিন্তাভাবনা ছিল যে একবারে কেবল একবারের পরিবর্তে একবারে অনেক ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার জন্য কলাটজ ফাংশনের এই পুনরাবৃত্তি অ্যাপ্লিকেশনটি কল্পনা করা ভাল লাগবে। এটি করার জন্য, আমি ভেবেছিলাম, কেন প্রতিটি ইনপুটটির জন্য নেওয়া শাখাগুলির ক্রমটি ট্র্যাক করবেন না এবং তারপরে যেহেতু কেবল দুটি শাখা রয়েছে, কেন তাদের বাইনারি ডিজিট হিসাবে বিবেচনা করবেন না?! আমরা সংক্ষিপ্ত করে প্রতিটি ইনপুট থেকে একটি ভগ্নাংশ তৈরি করতে সেই বাইনারি অঙ্কের ক্রমগুলি ব্যবহার করতে পারি 2-nখএন প্রতিটি বিটের জন্য খএন ক্রমান্বয়ে, এগুলি গ্রাফ করা সত্যিই সহজ করে তোলে এবং সম্ভবত আরও সহজেই দেখুন কলাটজ প্রক্রিয়াটি কী করছে।
আরও কিছুটা চিন্তাভাবনার পরে আমি সিদ্ধান্ত নিয়েছি যে এই পদ্ধতির কিছুটা নির্বোধ হবে। প্রতিটি ধাপে কোল্যাটজ ফাংশনের আউটপুটটি দেখে মনে হচ্ছে এটি এমনকি সংখ্যার উত্পাদন করার দিকে পক্ষপাতদুষ্ট হবে, বিট-সিকোয়েন্সগুলিকে অন্যের চেয়ে একটি বাইনারি অঙ্কে আরও পূর্ণ করে তোলে এবং সম্ভবত আমরা অন্যথায় দেখতে পেলাম এমন কোনও আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য অস্পষ্ট করে। আমি স্থির করেছিলাম আমি এটি ঠিক করব অবিলম্বে 3N + 1 ধাপের শেষে 2 দ্বারা বিভক্ত করা (যেহেতু আমরা জানি 3n + 1 এন বিজোড় হলেও হবে)। এটি “শর্টকাট” কোল্যাটজ ফাংশন হিসাবে এই ধারণাটি সুপরিচিত বলে মনে হচ্ছে।
এই টুইটের সাথে, এখানে এই ধারণার একটি সাধারণ জাভাস্ক্রিপ্ট বাস্তবায়ন:
function collatzBits(n) { let bits = (); while (n !== 1) { if (n % 2 === 0) { bits.push(1); n = n / 2; } else { bits.push(0); n = (3 * n + 1) / 2; } } return bits; } function bitsToFraction(bits) { let fraction = 0; for (let i = 0; i < bits.length; i++) { fraction += bits(i) / Math.pow(2, i + 1); } return fraction; }
এখানে একটি ইন্টারেক্টিভ সংস্করণ আপনি খেলতে পারেন। কলাটজ প্রক্রিয়াটি কীভাবে বাইনারি ভগ্নাংশে এনকোড হয়ে যায় তা দেখার জন্য কয়েকটি সংখ্যা রাখার চেষ্টা করুন।
একটি ইনপুট n = চয়ন করুন
বাইনারি ভগ্নাংশ হিসাবে ব্যাখ্যা করা বিটগুলির সংশ্লিষ্ট ক্রমটি হ’ল 0.02
যা 0 দশমিক হিসাবে।
ভাবতে মজাদার কিছু: আপনি কতক্ষণ কিছুটা সিকোয়েন্স তৈরি করতে পারেন? আপনি কি সঠিক প্রারম্ভিক নম্বরটি বেছে নিয়ে নির্বিচারে দীর্ঘ একটি তৈরি করতে পারেন?
অবশ্যই, এখন যেহেতু আমাদের ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যা থেকে ভগ্নাংশ পর্যন্ত একটি ম্যাপিং রয়েছে, আমরা সেগুলিও প্লট করতে পারি।
এখানে প্রথম এন পজিটিভ পূর্ণসংখ্যার জন্য কোল্যাটজ ভগ্নাংশের একটি প্লট রয়েছে। আপনি আরও পয়েন্ট দেখতে এন সামঞ্জস্য করতে পারেন। কোল্যাটজ ভগ্নাংশের বিতরণকে উপলব্ধি করতে n এর কিছু বড় মান চেষ্টা করুন। N =
পয়েন্টগুলি আমাকে বেশ অভিন্নভাবে বিতরণ করা দেখায়। আমি যদি স্কুইন্ট করি তবে হতে পারে আমি কিছু কাঠামো দেখতে পাচ্ছি, তবে এটি বর্ণনা করা শক্ত এবং আমি এটি কল্পনা করতে পারি।
এই প্লটটি তৈরি করার পরে আমি জেমস গ্লিকের দুর্দান্ত বই “কেওস” -তে কিশোর হিসাবে পড়েছি এমন একটি দুর্দান্ত কৌশলটি মনে পড়েছিলাম (আমার মনে হয় এই ধারণাটি ফিগেনবাউমকে দায়ী করা হতে পারে)। কৌশলটি হ’ল, যখন আপনার কাছে এলোমেলো বলে মনে হয় এমন সংখ্যার ক্রম থাকে, তখন আপনার পরবর্তী সংখ্যার জোড়গুলি 2 ডি প্লটে স্থানাঙ্ক হিসাবে চিকিত্সা করার চেষ্টা করা উচিত। আমাদের “কলাটজ ভগ্নাংশ” এর ক্রমের জন্য, চএনআমরা পয়েন্টগুলি প্লট করব (চএনচএন+1) এন = 1, 2, 3, … এন।
আমি এটি করেছি, এবং ফলাফলটি দেখে আমি প্রথমে ভেবেছিলাম যে আমি অবশ্যই আমার কোডটিতে ভুল করেছি। তবে আমার ছিল না, নিদর্শনগুলি আসল। এগুলি আমার কাছে প্রায় এক ধরণের এলিয়েন “রাইটিং” এর মতো দেখতে এবং তাদের মধ্যে অনেক সুন্দর স্ব-অনুরূপতা রয়েছে। কাঠামোর আরও গভীরভাবে খনন করার জন্য, আমি সাধারণ জাভাস্ক্রিপ্ট বিধিগুলির সাথে মেলে এমন রঙিন পয়েন্টগুলিতে একটি উপায় যুক্ত করেছি। আমার কয়েকটি রঙিন বিধি সহ এর একটি ইন্টারেক্টিভ সংস্করণ এখানে। আপনি আপনার নিজের আরও যোগ করতে পারেন!
এখানে প্রথম এন পূর্ণসংখ্যার জন্য প্লটটি রয়েছে, যেখানে এন = আপনি যদি পয়েন্টগুলির মধ্যে ফাঁক দেখতে যথেষ্ট পরিমাণে জুম করেন তবে এন বৃদ্ধি করুন (তবে প্লটটি ধীর হবে!)
আমি খেলতে এই অবিশ্বাস্যভাবে মজাদার মনে করি, গভীরভাবে জুম করে এবং নতুন রঙের নিয়ম যুক্ত করে এবং তারা কীভাবে প্লটটি পরিবর্তন করে তা দেখে। আপনি কোন ডিভাইসটি এটি দেখছেন তার উপর নির্ভর করে আপনি জুম ইন এবং আউট করতে চিমটি বা স্ক্রোল করতে সক্ষম হওয়া উচিত এবং এর বিভিন্ন অংশ দেখতে এটিকে চারপাশে টেনে আনতে হবে।
আমি ইতিমধ্যে অন্য কেউ অনুরূপ কিছু করেছেন কিনা তা দেখার জন্য আমি ইতিমধ্যে একটি দ্রুত সাহিত্যের অনুসন্ধান করেছি, তবে এখনও পর্যন্ত কিছুই খুঁজে পাইনি। আমি এমন কিছু ধারণা লিখেছিলাম যা আমি ভেবেছিলাম সম্ভবত স্ব-অনুরূপতার প্রমাণ হিসাবে রূপান্তরিত হতে পারে তবে এটি আমার কাছে তুচ্ছ মনে হয়নি। সুতরাং, সত্যিই এটিতে কাজ করার আগে, আমি সাহিত্যের অনুসন্ধানের সাথে আবার চেষ্টা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। এবার আমি চ্যাটজিপিটি -র নতুন “গভীর গবেষণা” বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করেছি। এটি দীর্ঘদিন ধরে এটি সম্পর্কে ভেবেছিল, একগুচ্ছ অনুসন্ধান করে এবং শেষ পর্যন্ত যে কাগজপত্রগুলি আশাব্যঞ্জক বলে মনে করেছিল তার একটি তালিকা দিয়ে জবাব দিয়েছিল। তাদের বেশিরভাগই আসলে ছিল না, তবে তাদের মধ্যে একটি ছিল সঠিক ম্যাচ। ফরাসি গণিতবিদ অলিভিয়ার রোজিয়ার দ্বারা এই 2019 এর কাগজ একটি প্লট রয়েছে যা আমার মতো দেখতে ঠিক একই রকম! এটি আবার অন্য কোনও প্রসঙ্গে দেখতে খুব মজাদার ছিল এবং রোজিয়ার কিছু স্ব-সহজাত ফলাফল প্রমাণ করে। রোজিয়ারের কাগজও উদ্ধৃত একটি
2007 ইউকিহিরো হাশিমোটো দ্বারা কাগজ
আবার একই চক্রান্ত আছে। রোজিয়ার বা হাশিমোটোর প্লট উভয়ই আমার মতো একইভাবে নির্মিত হয়নি, যদিও তারা একই দেখায়। এই দুটি কাগজই 2-অ্যাডিক সংখ্যা দিয়ে শুরু করে প্লটটি তৈরি করে এবং কেবল পরে সেগুলি ভগ্নাংশে মানচিত্র করে। আমি অনুমান করব যে 2-অ্যাডিক পদ্ধতির সম্ভবত তাদের প্রমাণগুলি আরও সুন্দর করে তোলে, তবে আপনি যদি পি-অ্যাডিক সংখ্যাগুলি আগে কখনও না দেখেন (বা যদি আমার মতো, আপনি তাদের সম্পর্কে যা শিখেছেন তার বেশিরভাগটি ভুলে গেছেন!) আপনি যদি কখনও খুব দীর্ঘ সময় ধরে থাকেন তবে আপনি যদি খুব দীর্ঘ সময় ধরে থাকেন!)
আপনি যদি প্লটে আকর্ষণীয় কিছু খুঁজে পান – একটি দুর্দান্ত প্যাটার্ন, একটি কাঠামো, অদ্ভুত কিছু – দয়া করে আমাকে জানান! আমি এটি আপনার কল্পনাশক্তি ছড়িয়ে দিতে এবং এমনকি কিছু নতুন আবিষ্কার হতে পারে। আমি মনে করি এই প্লটটি সুন্দর, এবং আমি আশা করি আপনি এটিও উপভোগ করবেন।
এর খসড়া পড়ার জন্য তাতিয়ানা মুরিয়ার এবং এমমেট শিয়ারকে ধন্যবাদ।
