20 বছর পরে, গণিত দম্পতি বড় গ্রুপ তত্ত্বের সমস্যা সমাধান করে

১৯ 1970০ এর দশকে অনুমানটি উত্থাপিত হওয়ার পরে, কয়েক ডজন গণিতবিদ এটি প্রমাণ করার জন্য তাদের হাত চেষ্টা করেছিলেন। তারা আংশিক অগ্রগতি করেছিল – এবং প্রক্রিয়াটিতে তারা গোষ্ঠীগুলি সম্পর্কে একটি দুর্দান্ত বিষয় শিখেছে, যা বিমূর্ত বস্তু যা একটি গাণিতিক ব্যবস্থার বিভিন্ন প্রতিসাম্যকে বর্ণনা করে। তবে একটি সম্পূর্ণ প্রমাণ নাগালের বাইরে মনে হয়েছিল।

তারপরে স্পথ এসেছিল। এখন, তিনি সমস্যাটি সম্পর্কে প্রথম জানতে এবং ক্যাবেনসের সাথে দেখা হওয়ার এক দশকেরও বেশি সময় পরে 20 বছর পরে, দুই গণিতবিদ রয়েছেন অবশেষে প্রমাণটি সম্পন্ন।

দম্পতি যখন তাদের ফলাফল ঘোষণা করেছিলেন, তখন তাদের সহকর্মীরা বিস্মিত হয়েছিল। “আমি সেখানে প্যারেড হতে চেয়েছিলাম,” বলেছিলেন ডিকন পার্সি স্ট্যানফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়। “বছরের পর বছর কঠোর, কঠোর, কঠোর পরিশ্রম, এবং তিনি এটি করেছিলেন, তারা এটি করেছে।”

প্রাইমসের শক্তি

ম্যাককে অনুমানটি একটি অদ্ভুত কাকতালীয় ঘটনা পর্যবেক্ষণ করে শুরু হয়েছিল।

জন ম্যাককে – এক বন্ধু দ্বারা বর্ণিত “উজ্জ্বল, নরম-কথ্য এবং মনোমুগ্ধকরভাবে বিশৃঙ্খলাযুক্ত” হিসাবে-অপ্রত্যাশিত জায়গায় সংখ্যার নিদর্শনগুলি চিহ্নিত করার দক্ষতার জন্য পরিচিত ছিল। কনকর্ডিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ সম্ভবত তাঁর “রাক্ষসী মুনশাইন” অনুমানের জন্য সর্বাধিক বিখ্যাত, যা 1992 সালে প্রমাণিত হয়েছিল এবং তথাকথিত দৈত্য গোষ্ঠী এবং সংখ্যা তত্ত্বের একটি বিশেষ ফাংশনের মধ্যে একটি গভীর সংযোগ স্থাপন করেছিল।

কয়েক বছর আগে তাঁর মৃত্যুর আগে, ম্যাককে অন্যান্য প্রচুর গুরুত্বপূর্ণ সংযোগগুলি আবিষ্কার করেছিলেন, অনেকগুলি গ্রুপ জড়িত। একটি গোষ্ঠী হ’ল উপাদানগুলির একটি সেট যা এই উপাদানগুলি কীভাবে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত। এটি প্রতিসাম্যগুলির সংগ্রহ হিসাবে ভাবা যেতে পারে – এমন রূপান্তর যা কোনও আকার, একটি ফাংশন বা অন্য কোনও গাণিতিক অবজেক্টকে নির্দিষ্ট উপায়ে অপরিবর্তিত রাখে। তাদের সমস্ত বিমূর্ততার জন্য, গোষ্ঠীগুলি প্রচুর কার্যকর এবং তারা গণিতে কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে।

1972 সালে, ম্যাককে ছিল সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলিতে মনোনিবেশ করা – এমন গোষ্ঠীগুলি যার সীমাবদ্ধ সংখ্যক উপাদান রয়েছে। তিনি পর্যবেক্ষণ করেছেন যে অনেক ক্ষেত্রে, আপনি এর উপাদানগুলির খুব ছোট উপসেটটি দেখে সসীম গোষ্ঠী সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ তথ্যটি অনুমান করতে পারেন। বিশেষত, ম্যাককে এমন উপাদানগুলির দিকে নজর রেখেছিল যা একটি বিশেষ, ছোট গ্রুপ তৈরি করে – যা একটি সিলো নরমালাইজার নামে পরিচিত – মূল গোষ্ঠীর অভ্যন্তরে।

কল্পনা করুন আপনার 72 টি উপাদান সহ একটি গ্রুপ রয়েছে। এটি একা আপনাকে বেশি কিছু বলে না: আছে 50 বিভিন্ন গ্রুপ যে আকার। তবে 72 টি প্রাইম সংখ্যার পণ্য হিসাবেও লেখা যেতে পারে, 2 $ ল্যাটেক্স \ বার $ 2 $ লেটেক্স \ বার $ 2 $ লেটেক্স \ বার $ 3 $ লেটেক্স \ বার $ 3 – এটি 2 হিসাবে 2 হিসাবে³ $ ল্যাটেক্স \ গুণ $ 3²। (সাধারণত, আপনার গোষ্ঠীর আকারটি বর্ণনা করার জন্য আপনার যত বেশি স্বতন্ত্র প্রাইমগুলি প্রয়োজন, আপনার গোষ্ঠীটি তত বেশি জটিল)) আপনি এই প্রাইমগুলির উপর ভিত্তি করে আপনার গোষ্ঠীটিকে আরও ছোট উপগোষ্ঠীতে বিভক্ত করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, আপনি আটটি (2 সহ সাবগ্রুপগুলি দেখতে পারেন³) নয়টি সহ উপাদান এবং উপগোষ্ঠী (3)²) উপাদান। এই উপগোষ্ঠীগুলি অধ্যয়ন করে, আপনি আপনার সামগ্রিক গোষ্ঠীর কাঠামো সম্পর্কে আরও শিখতে পারেন – উদাহরণস্বরূপ অন্যান্য বিল্ডিং ব্লকগুলি কী রয়েছে।

এখন সেই সাবগ্রুপগুলির মধ্যে একটি নিন এবং একটি বিশেষ উপগোষ্ঠী তৈরি করতে এটিতে কয়েকটি নির্দিষ্ট উপাদান যুক্ত করুন, সিলো নরমালাইজার। আপনার 72-এলিমেন্ট গ্রুপে, আপনি প্রতিটি আট-উপাদান এবং নয়-উপাদান উপগোষ্ঠীর জন্য একটি আলাদা সিলো নরমালাইজার তৈরি করতে পারেন-এগুলি যথাক্রমে 2-সাইলো নরমালাইজার এবং 3-সাইলো নরমালাইজার।

সিলো নরমালাইজারগুলি, তারা যে উপগোষ্ঠীগুলির বাইরে তৈরি করেছে তাদের মতো, গণিতবিদদের মূল গোষ্ঠী সম্পর্কে অনেক কিছু বলতে পারে। তবে ম্যাককে অনুমান করেছিলেন যে এই সংযোগটি যে কেউ কল্পনা করেছিলেন তার চেয়ে অনেক বেশি শক্তিশালী। এটি কেবল ছিল না যে কোনও সিলো নরমালাইজার একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর সামগ্রিক কাঠামোর অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারে। তিনি দৃ serted ়ভাবে বলেছিলেন যে যদি গণিতবিদরা এমন একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাণ গণনা করতে চান যা তাদের গ্রুপকে চিহ্নিত করতে সহায়তা করবে তবে তাদের কেবল সাইলো নরমালাইজারগুলির একটি নির্দিষ্ট সেটের দিকে নজর দিতে হবে: সিলো নরমালাইজারটি ঠিক একই সংখ্যার দ্বারা চিহ্নিত করা হবে।

এই পরিমাণটি একটি নির্দিষ্ট ধরণের “উপস্থাপনা” এর সংখ্যা গণনা করে – আপনি ম্যাট্রিক্স নামক সংখ্যার অ্যারে ব্যবহার করে গোষ্ঠীর উপাদানগুলি পুনরায় লিখতে পারেন। এই জাতীয় তালিকায় স্বেচ্ছাচারিতা বলে মনে হতে পারে তবে এটি গণিতবিদদের একটি ধারণা দেয় যে এই গোষ্ঠীর উপাদানগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কিত এবং এটি অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যের গণনায় জড়িত।

সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী এবং এর সিলো নরমালাইজারদের জন্য ম্যাকের পরিমাণ সর্বদা একই হওয়া উচিত বলে মনে হয় এমন কোনও ভাল কারণ নেই। একটি সিলো নরমালাইজারে বৃহত্তর গ্রুপের উপাদানগুলির সংখ্যার শতাংশের একটি ভগ্নাংশের মাত্র একটি ভগ্নাংশ থাকতে পারে। তদুপরি, সিলো নরমালাইজারের প্রায়শই খুব আলাদা কাঠামো থাকে।

এটি এমন হবে যেন “প্রতিটি মার্কিন নির্বাচনে আপনি সাধারণভাবে ভোটগুলি গণনা করেন এবং মন্টানার এই ছোট্ট শহরে এগুলি ঠিক আনুপাতিকভাবে একই,” বলেছেন গ্যাব্রিয়েল নাভারো ভ্যালেন্সিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের। “একই রকম নয়, কম বা কম নয়। ঠিক একই। “

তবে এটিই ম্যাককে অনুমান করেছিলেন – সমস্ত সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর জন্য। যদি সত্য হয় তবে এটি গণিতবিদদের জীবনকে আরও সহজ করে তুলবে: সিলো নরমালাইজাররা তাদের পিতামাতার গোষ্ঠীর তুলনায় কাজ করা আরও সহজ। এটি আরও গভীর গাণিতিক সত্যের উপস্থিতিতেও ইঙ্গিত দেবে, এমন একটি যা গণিতবিদদের এখনও কোনও হ্যান্ডেল নেই।

ম্যাককে প্রথম কাকতালীয় ঘটনাটি পর্যবেক্ষণ করার এক বছর পরে, মার্টি আইজ্যাকস নামে একজন গণিতবিদ প্রমাণ করেছিলেন যে এটি ছিল গ্রুপগুলির একটি বৃহত শ্রেণি। কিন্তু তখন গণিতবিদরা আটকে গেলেন। তারা দেখাতে সক্ষম হয়েছিল যে এটি একটি নির্দিষ্ট গোষ্ঠী বা অন্যটির জন্য ধরে রেখেছে, তবে এখনও সামনের অনেক দল মোকাবেলা করার জন্য বাকি ছিল।

সম্পূর্ণ অনুমান প্রমাণ করা নিষিদ্ধভাবে কঠিন বলে মনে হয়েছিল। দেখা গেল, সমস্যার পরবর্তী বড় অগ্রিমের জন্য ইতিহাসের সবচেয়ে হারকিউলিয়ান গাণিতিক প্রকল্পগুলির একটি সমাপ্তির প্রয়োজন হবে।

গ্রুপ তত্ত্বের জন্য একটি বিশাল লিপ, ম্যাকের জন্য একটি ছোট পদক্ষেপ

প্রকল্পটি – সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর সমস্ত বিল্ডিং ব্লককে শ্রেণিবদ্ধ করার একটি প্রচেষ্টা – শেষ পর্যন্ত হাজার হাজার প্রমাণের প্রয়োজন এবং এটি সম্পূর্ণ হতে 100 বছরেরও বেশি সময় নিয়েছিল। তবে 2004 সালে, গণিতবিদরা শেষ পর্যন্ত দেখিয়ে সফল হয়েছেন যে সমস্ত বিল্ডিং ব্লকগুলি অবশ্যই তিনটি বিভাগের মধ্যে একটিতে পড়তে হবে, অন্যথায় 26 জন বিদেশী তালিকার অন্তর্ভুক্ত।

গণিতবিদরা দীর্ঘদিন ধরে সন্দেহ করেছিলেন যে, একবার সম্পূর্ণ হয়ে গেলে এই শ্রেণিবিন্যাসটি ম্যাককে অনুমানের মতো সমস্যাগুলি সহজতর করতে সহায়তা করবে। সম্ভবত তাদের সমস্ত সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর জন্য অনুমান প্রমাণ করতে হবে না। হতে পারে তাদের কেবল 29 ধরণের বিল্ডিং ব্লকগুলি – বা সোজা গোষ্ঠীর কিছু সম্পর্কিত সেটের জন্য একটি বিকল্প বিবৃতি প্রমাণ করতে হয়েছিল – যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে পুরো ম্যাককে অনুমানকে বোঝায়।

তবে প্রথমে কাউকে দেখাতে হয়েছিল যে এই কৌশলটি আসলে কাজ করবে। যে বছর শ্রেণিবিন্যাসটি আনুষ্ঠানিকভাবে সম্পন্ন হয়েছিল, আইজ্যাকস, নাভারো এবং গুন্টার ম্যালে বেরিয়ে গেছে ম্যাককে অনুমানকে পুনর্নির্মাণের সঠিক উপায় যাতে তাদের কেবল গোষ্ঠীর একটি সংকীর্ণ সেটগুলিতে ফোকাস করতে হয়।

এই নতুন সেটে প্রতিটি গ্রুপের জন্য, ম্যাককে প্রস্তাবিত তার চেয়ে কিছুটা শক্তিশালী কিছু দেখাতে হবে: কেবল গোষ্ঠী এবং সিলো নরমালাইজারের উভয়ের জন্যই উপস্থাপনের সংখ্যা একই হতে হবে না, তবে সেই উপস্থাপনাগুলি থাকতে পারে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত। আইজ্যাকস, নাভারো এবং ম্যালে দেখিয়েছেন যে যদি এই বিশেষ গোষ্ঠীগুলির জন্য এই শক্তিশালী বিবৃতি অনুষ্ঠিত হয়, তবে ম্যাককে অনুমানটি প্রতিটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর জন্য সত্য হতে হয়েছিল। (“এটি ইউরো 2004-এর সময় ছিল,” নাভারো স্মরণ করেছিলেন। তাঁর সহ-লেখক “জানতেন না যে আমি মাঝে মাঝে কিছু গেম দেখার জন্য লুকিয়ে ছিলাম। তবে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।”))

সমস্যাটির ত্রয়ীর সংস্কারটি একটি বড় অগ্রগতি ছিল। কয়েক বছরের মধ্যে, গণিতবিদরা এটি ম্যাককে অনুমানের বেশিরভাগ ক্ষেত্রে সমাধানের জন্য ব্যবহার করেছিলেন। তদুপরি, এটি তাদের সম্পর্কিত প্রশ্নগুলি সহজতর করতে সহায়তা করেছিল যা পুরো অধ্যয়নের জন্য কোনও বস্তুর একটি অংশ ব্যবহার করে জড়িত। “টন এবং টন অনুমানগুলি এখন এটি ব্লুপ্রিন্ট হিসাবে ব্যবহার করে হ্রাস পেয়েছে,” বলেছেন মান্ডি স্কেফার ফ্রাইডেনভার বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ।

তবে এখানে এক শ্রেণির গ্রুপ ছিল – “মিথ্যা ধরণের গ্রুপ” – যার জন্য ম্যাককে অনুমানের নতুন সংস্করণটি উন্মুক্ত ছিল। এই গোষ্ঠীগুলির উপস্থাপনাগুলি অধ্যয়ন করা বিশেষত কঠিন ছিল এবং এটি প্রমাণ করা চ্যালেঞ্জিং ছিল যে তাদের মধ্যে সম্পর্কগুলি আইজ্যাকস, নাভারো এবং ম্যালে যে শর্তগুলি বর্ণনা করেছিল তা সন্তুষ্ট করেছিল।

তবে ম্যালির এক স্নাতক শিক্ষার্থী এই মামলায় ছিলেন। ব্রিটা স্পথ।

‘আমাদের আবেশ’

2003 সালে, স্পথ ম্যালির সাথে ডক্টরেট শুরু করতে ক্যাসেল বিশ্ববিদ্যালয়ে পৌঁছেছিলেন। তিনি ম্যাককে অনুমানের উপর কাজ করার জন্য প্রায় পুরোপুরি উপযুক্ত ছিলেন: এমনকি উচ্চ বিদ্যালয়েও তিনি একক সমস্যার জন্য কয়েক দিন বা সপ্তাহ কাটাতে পারতেন। তিনি বিশেষত এমন ব্যক্তিদের মধ্যে প্রকাশ করেছিলেন যা তার ধৈর্য পরীক্ষা করেছিল, এবং তিনি “কৌশলগুলি যা একরকমভাবে, এমনকি এত গভীর নয়” অনুসন্ধান করতে দীর্ঘ সময় ধরে কাটিয়েছেন।

স্পথ তার সময়টি যতটা সম্ভব গ্রুপের উপস্থাপনা অধ্যয়ন করতে সময় ব্যয় করেছিল। তিনি তার স্নাতক ডিগ্রি শেষ করার পরে, তিনি ম্যাককে অনুমানের দিকে চিপিং চালিয়ে যাওয়ার জন্য সেই দক্ষতাটি ব্যবহার করার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন। “তার এই পাগল, সত্যিই ভাল স্বজ্ঞাততা রয়েছে,” তার বন্ধু এবং সহযোগী শ্যাফার ফ্রাই বলেছেন। “তিনি দেখতে পেল যে এটি এইরকম হতে চলেছে।”

কয়েক বছর পরে, ২০১০ সালে, স্পথ প্যারিস সিটি বিশ্ববিদ্যালয়ে কাজ শুরু করেছিলেন, যেখানে তিনি ক্যাবেনের সাথে দেখা করেছিলেন। তিনি ম্যাককে অনুমানের সংস্কারকৃত সংস্করণের কেন্দ্রে গ্রুপগুলির সংকীর্ণ সেটে বিশেষজ্ঞ ছিলেন এবং স্পথ প্রায়শই তাঁর প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে তাঁর অফিসে যান। তিনি স্মরণ করেছিলেন, ক্যাবেনস “সর্বদা প্রতিবাদ করছিল, ‘এই দলগুলি জটিল, আমার God শ্বর,” তিনি স্মরণ করেছিলেন। তার প্রাথমিক দ্বিধা সত্ত্বেও, তিনিও শেষ পর্যন্ত সমস্যার প্রতি মোহিত হয়ে উঠলেন। এটি “আমাদের আবেশ” হয়ে গেল, তিনি বলেছিলেন।

মিথ্যা ধরণের গ্রুপগুলির চারটি বিভাগ রয়েছে। একসাথে, স্পথ এবং ক্যাবেনগুলি সেই প্রতিটি বিভাগের জন্য অনুমানটি প্রমাণ করতে শুরু করে এবং সেগুলি বেশ কয়েকটি রিপোর্ট প্রধান ফলাফল পরের দশক ধরে।

তাদের কাজ তাদের মিথ্যা ধরণের গোষ্ঠীগুলির গভীর বোঝার বিকাশ করতে পরিচালিত করে। যদিও এই গোষ্ঠীগুলি অন্যান্য গোষ্ঠীর সর্বাধিক সাধারণ বিল্ডিং ব্লক এবং তাই দুর্দান্ত গাণিতিক আগ্রহের, তাদের উপস্থাপনাগুলি অধ্যয়ন করা অবিশ্বাস্যভাবে কঠিন। ক্যাবেনস এবং স্পথকে প্রায়শই গণিতের পৃথক অঞ্চল থেকে অস্বচ্ছ তত্ত্বগুলির উপর নির্ভর করতে হত। তবে এই তত্ত্বগুলি খনন করার সময়, তারা এই গুরুত্বপূর্ণ গোষ্ঠীগুলির এখনও কয়েকটি সেরা বৈশিষ্ট্য সরবরাহ করেছে।

তারা এটি করার সাথে সাথে তারা ডেটিং শুরু করে এবং দুটি সন্তান ধারণ করে। (তারা শেষ পর্যন্ত জার্মানিতে একসাথে বসতি স্থাপন করেছিল, যেখানে তারা তাদের বাড়ির তিনটি হোয়াইটবোর্ডের মধ্যে একটিতে একসাথে কাজ করা উপভোগ করে।)

2018 এর মধ্যে, তাদের কাছে কেবল একটি বিভাগের মিথ্যা ধরণের গোষ্ঠী রয়েছে। এটি হয়ে গেলে তারা ম্যাককে অনুমানটি প্রমাণ করত।

এই চূড়ান্ত মামলাটি তাদের আরও ছয় বছর সময় নিয়েছিল।

একটি ‘দর্শনীয় অর্জন’

স্পথ বলেছিলেন, চতুর্থ ধরণের মিথ্যা গ্রুপের “অনেক অসুবিধা ছিল, এতগুলি খারাপ আশ্চর্য,” স্পথ বলেছিলেন। (এটি 2020 সালে সাহায্য করেনি যে মহামারী তাদের দুই ছোট বাচ্চাকে স্কুল থেকে বাড়িতে রাখে, তাদের পক্ষে কাজ করা কঠিন করে তোলে) তাদের সিলো নরমালাইজারগুলি – এবং যেভাবে উপস্থাপনাগুলি মেলে তা প্রয়োজনীয় নিয়মকে সন্তুষ্ট করে। শেষ মামলাটি করা হয়েছিল। এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুসরণ করেছে যে ম্যাককে অনুমানটি সত্য।

2023 সালের অক্টোবরে, তারা শেষ পর্যন্ত 100 টিরও বেশি গণিতবিদদের একটি কক্ষে এটি ঘোষণা করার জন্য তাদের প্রমাণে যথেষ্ট আত্মবিশ্বাসী বোধ করেছিল। এক বছর পরে, তারা এটি অনলাইন পোস্ট সম্প্রদায়ের বাকী অংশ হজম করার জন্য। “এটি একেবারে দর্শনীয় অর্জন,” বলেছেন রাধা কেসার ম্যানচেস্টার বিশ্ববিদ্যালয়ের।

গণিতবিদরা এখন আত্মবিশ্বাসের সাথে তাদের সিলো নরমালাইজারদের একা দেখে গ্রুপগুলির গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করতে পারেন – এই বিমূর্ত সত্তাগুলি বোঝার জন্য আরও সহজ পদ্ধতির এবং ব্যবহারিক প্রয়োগ থাকতে পারে এমন একটি। এবং এই সংযোগ স্থাপনের প্রক্রিয়াতে নাভারো বলেছিলেন, গবেষকরা “সুন্দর, দুর্দান্ত, গভীর গণিত” বিকাশ করেছেন।

অন্যান্য গণিতবিদরা এখন আরও গভীর ধারণাগত কারণটি অন্বেষণ করবেন বলে আশা করছেন যে কেন অদ্ভুত কাকতালীয় ম্যাককে অনাবৃত করা হয়েছে তা সত্য। যদিও স্পথ এবং ক্যাবেনগুলি এটি প্রমাণ করেছে, তবুও গণিতবিদরা বুঝতে পারেন না যে তুলনামূলকভাবে ক্ষুদ্র সেটটি কেন আপনাকে এর বৃহত্তর পিতামাতার গোষ্ঠী সম্পর্কে এত কিছু বলার জন্য যথেষ্ট।

কেসার বলেছিলেন, “এই সংখ্যাগুলি একই হওয়ার কিছু কাঠামোগত কারণ থাকতে হবে।”

কিছু গণিতবিদ এই সংযোগটি বোঝার চেষ্টা করার জন্য প্রাথমিক কাজ করেছেন, তবে এখনও পর্যন্ত এটি রহস্য হিসাবে রয়ে গেছে।

স্পথ এবং ক্যাবেনগুলি এগিয়ে চলেছে, প্রতিটি তাদের পরবর্তী আবেশের সন্ধান করছে। এখনও অবধি, স্পথের মতে, ম্যাককে অনুমানের মতো কিছুই তাকে গ্রাস করেনি। “আপনি যদি একটি বড় কাজ করে থাকেন তবে সাহস, পরেরটির জন্য উত্তেজনা খুঁজে পাওয়া কঠিন,” তিনি বলেছিলেন। “মাঝে মাঝে এমন লড়াই ছিল। এটি আপনাকে প্রতিদিন একটি উদ্দেশ্যও দিয়েছিল। “